什么是拓扑学

作者:快检测查重系统     发表时间:2022-10-06 14:33:22   浏览次数:104


拓扑学是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科,它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。在拓扑学里,重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。拓扑英文名是Topology,直译是地志学,最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。拓扑学是由几何学与集合论里发展出来的学科,研究空间、维度与变换等概念。这些词汇的来源可追溯至哥特佛莱德·莱布尼茨,他在17世纪提出“位置的几何学”和“位相分析”的说法。莱昂哈德-欧拉的柯尼斯堡七桥问题与欧拉示性数被认为是该领域最初的定理。拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了,后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。

拓扑学是几何学的一个分支,但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

补充材料:

一、拓扑学的子领域:

拓扑学的分支学科包括点集拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学、几何拓扑学,具体介绍如下:

1、一般拓扑学建立拓扑的基础,并研究拓扑空间的性质,以及与拓扑空间相关的概念。一般拓扑学亦被称为点集拓扑学,被用于其他数学领域(如紧致性与连通性等主题)之中。

2、代数拓扑学运用同调与同伦群等代数结构量测连通性的程度。

3、微分拓扑学研究在微分流形上的可微函数,与微分几何密切相关,并一齐组成微分流形的几何理论。

4、几何拓扑学主要研究流形与其对其他流形的嵌入。几何拓扑学中一个特别活跃的领域为“低维拓扑学”,研究四维以下的流形。几何拓扑学亦包括“纽结理论”,研究数学上的纽结。

二、拓扑学的学科起源:

有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题。后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。譬如哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。

拓扑学建立后,由于其它数学学科的发展需要,它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后,他把拓扑学概念作为分析函数论的基础,更加促进了拓扑学的进展。二十世纪以来,集合论被引进了拓扑学,为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。

因为大量自然现象具有连续性,所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究,可以阐明空间的集合结构,从而掌握空间之间的函数关系。二十世纪三十年代以后,数学家对拓扑学的研究更加深入,提出了许多全新的概念。比如,一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何,是用微分工具来研究曲线、曲面等在一点附近的弯曲情况,而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况,因此,这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年,美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系,并推进了整体几何学的发展。

拓扑学发展到今天,在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的,叫做点集拓扑学,或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的,叫做代数拓扑。现在,这两个分支又有统一的趋势。拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。

三、拓扑学的学科简介:

Topology原意为地貌,起源于希腊语Τοπολογ。形式上讲,拓扑学主要研究“拓扑空间”在“连续变换”下保持不变的性质。简单的说,拓扑学是研究连续性和连通性的一个数学分支。拓扑学起初叫形势分析学,是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。十九世纪中期,德国数学家黎曼在复变函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。拓扑学研究的是几何形体在连续形变,精确地说,双方一一而且双方连续的变换(称为同胚)之下保持不变的性质。简言之些,拓扑学是研究数学中连续性现象的学科。最典型拓扑学研究对象便是DNA的双螺旋结构。

四、拓扑学的学科影响:

连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着,数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的,对于离散性数学也起着巨大的推进作用。例如,拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性,体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。拓扑学在泛函分析、实分析、群论、微分几何、微分方程其他许多数学分支中都有广泛的应用。

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